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第一章 近可积动力系统的混沌现象1

1.1 孤立子扰动理论的直接方法1

1.2 基于反散射变换的微扰理论4

1.3 在各种外力下Sine-Gorden方程孤立子的变化9

1.3.1 SG方程孤立子的运动9

1.3.2 二波包SG孤立子的运动11

1.3.3 含外力SG方程中三维bubble的随机动力学13

1.3.4 类似于Fermi-Pasta-Ulam问题SG孤立子15

1.3.5 外场作用下的呼吸子混沌动力学16

1.3.6 在SG系统中具参数激发态的混沌动力学19

1.3.7 扰动的SG方程孤立子晶格的随机性质21

1.4 多种形式外力和阻尼下非线性Schr？dinger方程孤立子的变化23

1.5 KdV扰动方程等的混沌动力学27

第二章 某些数值计算结果及其分析29

2.1 相干结构和数值计算结果30

2.2 基本分析58

2.2.1 NLS方程和Sine-Gordon方程的联系58

2.2.2 空间无关不动点59

2.2.3 空间相关不动点61

2.2.4 非线性Schr？dinger方程的可积结构62

2.2.5 聚焦非线性Schr？dinger方程的Whisker环面80

第三章 扰动非线性Schr？dinger方程四维截断的同宿轨道96

3.1 未扰动系统的动力学和几何结构96

3.1.1 Mo和Ws（Mo）∩Wu（Mo）98

3.1.2 在Mo上的动力系统100

3.1.3 未扰动同宿轨道和它们在Mo与Mo∩Wu（Mo）上的关系100

3.2扰动系统的几何结构104

3.2.1 Mo，Ws（Mo），Wu（Mo）在扰动下的不变性105

3.2.2 在Mε上靠近共振的动力系统105

3.3 稳定和不稳定流形的纤维表示109

3.3.1 同宿轨道Ws（Mo）和Wu（Mo）的表示110

3.3.2 稳定和不稳定流形纤维的直观了解111

3.3.3 第二个例子113

3.3.4 两个模方程的Ws（Mo）和Wu（Mo）的纤维119

3.3.5 纤维的性质和特征120

3.3.6 Wu（qε）和？（A？Mε）子集的纤维表示121

3.4 qε的同宿轨道123

3.4.1 同宿坐标和超平面∑124

3.4.2 Ws（A？Mε）∩Wu（qε）的Melnikov函数125

3.4.3 I＝1时Melnikov函数的显式表达式130

3.4.4 qε同宿轨道的存在性134

3.5.1 周期解的数值计算141

3.5 qε同宿轨道的数值计算141

3.5.2 同宿流形的计算142

3.6 qε的同宿轨道的动力学推论：混沌的存在性及其性质149

3.6.1 映照区域的构造151

3.6.2 靠近原点处映照Po的构造153

3.6.3 在原点邻域外映照沿同宿轨道的构造156

3.6.4 全映照P≡P？P1：Пo→IIo158

3.6.5 关于二模截断模型定理假设的验证158

第四章 具外力和阻尼的Sine-Gordon方程的同宿轨道163

4.1 未扰动方程组的结构164

4.1.3 Ws（M），Wu（M）和同宿流形165

4.1.1 法向双曲不变流形M165

4.1.2 在M上的动力学165

4.1.4 Г上的动力学及其和M上动力学的关系166

4.2 扰动系统的结构168

4.2.1 M,Ws（M）和Wu（M）在扰动下的不变性168

4.2.2 在Mε上的动力学170

4.2.3 Ws（Aε）和Wu（Aε）的纤维：奇异扰动性质175

4.3 连接Pε的同宿轨道的存在性178

4.3.1 Wu（Pε）？Ws（Aε）：高维Melnikov理论179

4.3.2 Wu（pε）∩Ws（pε）：pε的一条同宿轨道181

4.4 混沌：Silnikov定理185

4.5 在具外力、阻尼项非线性Schr？dinger方程中的应用186

4.5.1 未扰动可积结构189

4.5.2 在Aε上靠近共振的动力学195

4.5.3 Melnikov函数的计算197

4.5.4 同宿于pε的同宿轨道的存在性201

4.5.5 在物理空间中混沌的几何解释203

第五章 具扰动非线性Schr？dinger方程同宿轨道的不变性207

5.1 前言207

5.2.1 在不变平面上的运动208

5.2 空间无关解分析和在不变平面上的运动208

5.2.2 在Пc上关于Q的稳定流形210

5.3 在不动点圆邻域里的方程组216

5.3.1 基本方程组216

5.3.2 规范形式219

5.3.3 局部方程组226

5.4 不变流形理论227

5.4.1 局部不变流形的存在性227

5.4.2 不变流形的纤维化240

5.4.3 在Mε里Q的稳定流形250

5.5.2 Zakharov-Shabat谱问题258

5.5.1 Lax对258

5.5 整体可积理论258

5.5.3 基本例子262

5.5.4 同宿轨道和“胡须环”（Whikered Tori）263

5.5.5 一个重要的不变量267

5.5.6 F .（qh）270

5.6 同宿轨道的不变性272

5.6.1 第一测度272

5.6.2 第二测度281

5.6.3 同宿轨道的存在性285

6.1 可积情况289

第六章 离散扰动非线性Schr？dinger方程的同宿轨道和混沌289

6.1.1 Ln的谱理论291

6.1.2 双曲结构和同宿轨道292

6.2 不变流形的不变性296

6.2.1 不变平面的不变性296

6.2.2 不变流形的不变性定理298

6.2.3 不变流形局部不变性定理的证明299

6.3 Fenichel纤维306

6.3.1 Fenichel纤维表示的一个例子306

6.3.2 纤维定理307

6.3.3 “数8？A”的惟一显式的Fenichel纤维309

6.4 Melnikov测量：Wu（qε）∩？310

6.4.1 主要原理310

6.4.2 Melnikov积分的确定314

6.4.3 逼近328

6.4.4 MF1的计算330

6.4.5 Wu（qε）和Ws（Mε）？相交332

6.5 qε同宿轨道的存在性：第二测量334

6.6 符号动力学的一般理论342

6.6.1 总的框架342

6.6.2 光滑规范变换344

6.6.3 某些定义346

6.6.4 Poincaré映照？351

6.6.5 Poincaré映照？352

6.6.6 Poincaré映照P≡？的不动点354

6.6.7 Smale马蹄365

6.6.8 符号动力系统377

6.7 应用于离散非线性Schr？dinger方程系统382

6.7.1 变换式（6.1.3）到式（6.6.1）形式382

6.7.2 Generic假设384

6.7.3 由离散非线性Schr？dinger方程系统一对同宿轨道产生的Smale马蹄和混沌385

7.1 一类Sine-Gordon方程在耗散扰动下同宿轨道的不变性395

第七章 扰动Sine-Gordon方程同宿轨道的不变性395

7.2 另一类Sine-Gordon方程在耗散扰动下同宿轨道的不变性402

7.3 一类Klein-Gordon方程小扰动下同宿轨道的不变性424

第八章 扰动高阶非线性Schr？dinger方程同宿轨道的不变性433

8.1 扰动三次—五次NLS方程同宿轨道的不变性433

8.1.1 一些基本结果433

8.1.2 在Cω的一个邻域里的方程组440

8.1.3 不变流形443

8.1.4 同宿轨道的不变性454

8.2 导数非线性Schr？dinger方程六维模型的同宿轨道461

8.2.1 扰动的具导数NLS方程的Fourier截断462

8.2.2 正规双曲不变流形的不变性472

8.2.3 同宿轨道的保持性475

8.3 扰动非线性Schr？dinger耦合方程组的同宿轨道的不变性480

8.3.1 预备性结果480

8.3.2 Sω邻域的方程487

8.3.3 局部不变流形的存在性494

8.3.4 无扰动系统的同宿轨道504

8.3.5 同宿轨道的不变性507

8.4 具有导数项非线性Schr？dinger方程在小扰动下同宿轨道的不变性513

8.4.1 预备性结果513

8.4.2 常数平面上的解分析514

8.4.3 Cω邻域的方程517

8.4.4 不变流形519

8.4.5 同宿轨道527

第九章 扰动非线性Schr？dinger方程的同宿轨道534

9.1 主要定理和基本方程组的建立534

9.2 不变流形和不变叶片539

9.3 同宿轨道583

9.3.1 未扰动NLS的同宿轨道584

9.3.2 第一测量量586

9.3.3 第二测量量595

9.3.4 同宿轨道的存在性597

第十章 Morse函数与Floquet理论601

10.1 非线性Schr？dinger方程的Morse函数和Melnikov函数601

10.1.1 Floquet谱理论602

10.1.2 Fj的临界结构608

10.1.3 等谱分层的Morse描述612

10.1.4 Melnikov向量623

10.2 Hill方程625

10.3 可积PDE的拓扑分类633

参考文献638