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第1章 绪论1

1.1从放射性衰变谈起1

1.1.1放射性衰变1

1.1.2碳14同位素断代法2

1.2微分方程及其解的概念4

1.2.1微分方程及其分类4

1.2.2方程的解5

1.3一阶微分方程及其解的几何解释8

1.3.1方向场8

1.3.2图像法9

1.4常微分方程的发展简史13

第2章 一阶方程的初等积分法16

2.1变量可分离方程16

2.2一阶线性方程20

2.3初等变换法24

2.3.1齐次方程24

2.3.2准齐次方程27

2.3.3 Bernoul方程28

2.3.4 Riccati方程29

2.4全微分方程32

2.4.1全微分方程的概念及通积分形式32

2.4.2全微分方程的判别及求解方法33

2.5积分因子法36

2.6一阶隐方程41

2.6.1可解出y或x的方程与微分法41

2.6.2不显含x或y的方程与参数法45

2.6.3一般的一阶隐式方程47

2.7应用举例48

第3章 一阶方程的一般理论60

3.1 Picard逐次逼近法61

3.2解的存在与唯一性定理63

3.2.1Picard定理63

3.2.2近似计算和误差估计68

3.2.3Peano存在定理69

3.3解的延伸74

3.3.1解的延伸定理74

3.3.2比较定理80

3.4解对初值的连续性和可微性85

3.4.1解对初值的连续依赖性85

3.4.2解对初值的可微性87

3.5奇解90

3.5.1奇解90

3.5.2包络93

3.6数值解法98

3.6.1Euler方法98

3.6.2Runge-Kutta方法100

第4章高阶微分方程105

4.1预备知识105

4.2降阶法107

4.3齐次线性方程113

4.3.1齐次线性方程的一般理论114

4.3.2解与系数的关系119

4.4常系数齐次线性方程的解法122

4.5某些变系数齐次线性方程的解法129

4.5.1化为常系数法129

4.5.2降阶法133

4.6非齐次线性方程137

4.6.1非齐次线性方程的一般理论137

4.6.2常系数非齐次线性方程的解法141

4.7二阶线性方程的幂级数解法146

4.7.1解法的基本思路与过程147

4.7.2常点幂级数解150

4.7.3正则奇点广义幂级数解153

4.8二阶齐次线性方程的解的振动161

4.8.1零点的孤立性162

4.8.2Sturm比较定理162

4.8.3振动解与非振动解的判别164

4.8.4解的零点间的距离的估计165

4.9Sturm-Liouville边值问题166

4.9.1预备知识166

4.9.2Sturm-Liouville特征值问题168

4.10应用举例171

第5章微分方程组179

5.1预备知识179

5.1.1引例179

5.1.2微分方程组及其解的概念181

5.1.3高阶微分方程（组）与一阶微分方程组的关系183

5.1.4向量函数与矩阵函数185

5.1.5微分方程组的向量形式187

5.2解的存在唯一性定理188

5.3初等积分法189

5.3.1消元法190

5.3.2可积组合法192

5.4齐次线性微分方程组的一般理论199

5.4.1解的性质与结构200

5.4.2解与系数的关系204

5.4.3基解矩阵205

5.5常系数齐次线性微分方程组的解法208

5.5.1矩阵指数的定义和性质208

5.5.2标准基解矩阵eAx209

5.5.3待定系数法计算基解矩阵exAP213

5.6非齐次线性微分方程组222

5.6.1解的性质与结构222

5.6.2常数变易法求特解223

5.7应用举例225

第6章微分方程的定性理论230

6.1自治系统231

6.1.1动力系统相空间与轨线231

6.1.2自治系统的基本性质233

6.1.3自治系统轨线的类型235

6.2解的稳定性238

6.2.1Lyapunov稳定性的概念238

6.2.2按一次近似判断稳定性240

6.2.3Lyapunov第二方法246

6.3平面自治系统的奇点254

6.3.1线性系统的奇点254

6.3.2非线性系统的奇点266

6.4极限环270

6.4.1极限环的存在性判断方法270

6.4.2Poincare映射与后继函数法275

6.5分支与混沌277

6.5.1分支277

6.5.2Lorenz方程与混沌283

6.6应用举例286

6.6.1两种群模型287

6.6.2vanderPol方程295

第7章Maple在常微分方程中的应用301

7.1初识Maple301

7.2Maple在一阶微分方程中的应用302

7.2.1一阶微分方程的求解及积分曲线的画法302

7.2.2微分方程类型的判定304

7.2.3积分因子的求法306

7.2.4一阶隐方程的求解306

7.2.5数值解法307

7.2.6方向场308

7.2.7正交轨线310

7.3Maple应用于解高阶方程和方程组311

7.3.1用Maple解高阶线性方程311

7.3.2高阶线性方程的幂级数解法314

7.3.3用Maple解方程组315

参考答案319

参考文献329