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绪论1

第1章 变分法的一些基本知识8

1.1泛函及泛函的变分运算8

1.2变分法的基本预备定理及欧拉方程12

1.2.1变分法基本预备定理12

1.2.2欧拉方程和自然边界条件13

1.3拉格朗日乘子法15

1.3.1求函数条件极值的拉格朗日乘子法16

1.3.2求泛函条件极值的拉格朗日乘子法18

第2章 弯曲直梁混合变量的变分原理20

2.1直梁的基本公式20

2.2直梁变形的应变能及余能22

2.3直梁的功的互等原理24

2.3.1直梁修正的功的互等定理24

2.3.2直梁修正的功的互等定理具体证例28

2.3.3直梁贝蒂功的互等定理29

2.4直梁混合变量的最小势能原理30

2.4.1直梁的最小势能原理30

2.4.2直梁混合变量的最小势能原理的推导32

2.5直梁的广义势能原理37

2.6直梁混合变量的最小余能原理39

2.6.1直梁的最小余能原理39

2.6.2直梁混合变量的第一（最小）余能原理41

2.6.3直梁混合变量的第二余能原理45

2.7直梁的广义余能原理47

2.8直梁混合变量的最小势作用量原理及最小余作用量原理48

2.8.1直梁的最小势作用量原理48

2.8.2直梁混合变量的最小势作用量原理50

2.8.3直梁的最小余作用量原理53

2.8.4直梁混合变量的最小余作用量原理55

2.9直梁混合变量的虚功原理和虚余功原理58

2.9.1直梁的虚功原理58

2.9.2直梁混合变量的虚功原理58

2.9.3直梁的虚余功原理59

2.9.4直梁混合变量的虚余功原理60

2.9.5弹性动力学直梁混合变量的虚功原理和虚余功原理60

2.10直梁混合变量变分原理的应用61

2.10.1混合变量最小势能原理的应用61

2.10.2混合变量第二余能原理的应用71

2.11直梁混合变量最小势作用量原理的应用72

2.11.1一端固定另一端简支的直梁72

2.11.2两端固定的直梁74

2.11.3悬臂梁77

第3章 大挠度弯曲直梁混合变量的变分原理80

3.1大挠度直梁的基本公式80

3.2大挠度直梁的功的互等定理83

3.3大挠度直梁混合变量的最小势能原理87

3.3.1大挠度直梁的最小势能原理87

3.3.2大挠度直梁混合变量最小势能原理的推导90

3.4大挠度直梁的广义势能原理93

3.5大挠度直梁混合变量的余能原理95

3.5.1大挠度直梁的驻值余能原理95

3.5.2大挠度直梁混合变量的驻值余能原理97

3.6大挠度直梁的广义余能原理101

3.7大挠度直梁混合变量的最小势作用量原理及驻值余作用量原理102

3.7.1大挠度直梁最小势作用量原理102

3.7.2大挠度直梁混合变量的最小势作用量原理104

3.7.3大挠度直梁驻值余作用量原理107

3.7.4大挠度直梁混合变量的驻值余作用量原理109

3.8大挠度直梁混合变量的虚功原理和虚余功原理112

3.8.1大挠度直梁的虚功原理112

3.8.2大挠度直梁混合变量的虚功原理112

3.8.3大挠度直梁的虚余功原理113

3.8.4大挠直度梁混合变量的虚余功原理114

3.8.5弹性动力学大挠直度梁混合变量的虚功原理和虚余功原理115

第4章 弯曲矩形板混合变量的变分原理117

4.1弯曲矩形板混合变量的最小势能原理117

4.2弯曲矩形板混合变量的余能原理123

4.2.1混合变量的第一余能原理123

4.2.2混合变量的第二余能原理130

4.3弯曲矩形板的广义变分原理132

4.3.1弯曲矩形板的广义势能原理132

4.3.2弯曲矩形板混合变量的广义势能原理133

4.3.3弯曲矩形板的广义余能原理134

4.3.4弯曲矩形板混合变量的广义余能135

4.3.5广义势能和广义余能的关系136

4.4弯曲矩形板混合变量的虚功原理和虚余功原理137

4.4.1弯曲矩形板混合变量的虚功原理137

4.4.2弯曲矩形板混合变量的虚余功原理138

4.5弯曲矩形板混合变量的最小势作用量原理及最小余作用量原理139

4.5.1弯曲矩形板混合变量的最小势作用量原理139

4.5.2弯曲矩形板混合变量的最小余作用量原理144

第5章 应用混合变量最小势能原理于求解弯曲矩形板的平衡问题149

5.1一边固定一边自由另两邻边简支的矩形板149

5.2两对边固定另两对边自由矩形板的弯曲153

5.3四边固定矩形板的弯曲156

5.4四角点支承的矩形板162

5.5一集中载荷作用下两邻边固定另两邻边自由的矩形板171

5.6悬臂矩形板179

5.7两对边简支一边固定一边自由的矩形板187

5.8均载两邻边固定两邻边自由的矩形板191

第6章 应用混合变量最小势能原理于求解矩形板的稳定问题198

6.1两邻边简支一边固定另一边自由的矩形板198

6.2四边固定的矩形板203

6.3四角点支承的矩形板207

6.4两邻边固定另两邻边自由的矩形板213

第7章 应用混合变量的余能原理于求解弯曲矩形板的平衡问题221

7.1四边简支矩形板221

7.2均载作用四边固定的矩形板230

7.3四角点支承的矩形板233

7.4均载作用两邻边固定另两邻边自由的矩形板237

第8章 应用混合变量的最小势作用量原理于求解弯曲矩形板的振动问题245

8.1两邻边固定一边自由一边简支的矩形板245

8.2四边固定的矩形板254

8.3两邻边固定另两邻边自由的矩形板263

8.4悬臂矩形板274

8.5弯曲矩形板的固有频率286

第9章 大挠度弯曲薄板混合变量的变分原理296

9.1大挠度板的基本方程296

9.1.1大挠度板的连续方程296

9.1.2大挠度板的微分平衡方程299

9.1.3大挠度矩形板的边界条件303

9.2大挠度板的变形能原理304

9.3大挠度板的功的互等定理313

9.4由大挠度板的变形能原理及功的互等定理导出势能原理和余能原理322

9.5由大挠度板的变形能原理及功的互等定理导出已知边界值变化的变分原理328

9.5.1由大挠度板的变形能原理及功的互等定理导出已知边界位移变化的势能原理328

9.5.2由大挠度板的变形能原理及功的互等定理导出已知边界力变化的余能原理332

9.6大挠度板混合变量的最小势能原理336

9.7大挠度板混合变量的驻值余能原理343

9.8大挠度板的广义变分原理352

9.8.1大挠度板的广义势能原理352

9.8.2大挠度板混合变量的广义势能原理353

9.8.3大挠度板的广义余能原理354

9.8.4大挠度板混合变量的广义余能原理355

9.8.5广义势能和广义余能的关系356

9.9大挠度板混合变量的最小势作用量原理及驻值余作用量原理358

9.9.1大挠度板的最小势作用量原理358

9.9.2大挠度板混合变量的最小势作用量原理360

9.9.3大挠度板的驻值余作用量原理362

9.9.4大挠度板混合变量的驻值余作用量原理366

9.10大挠度板混合变量的虚功原理及虚余功原理369

9.10.1大挠度板的虚功原理369

9.10.2大挠度板混合变量的虚功原理369

9.10.3大挠度板的虚余功原理370

9.10.4大挠度板混合变量的虚余功原理370

9.10.5弹性动力学大挠度板混合变量的虚功原理及虚余功原理371

第10章 小位移弹性理论混合变量的变分原理373

10.1笛卡儿张量符号及相关基本方程373

10.2功的互等定理378

10.3混合变量的极值变分原理381

10.3.1混合变量的最小势能原理381

10.3.2混合变量的最小余能原理386

10.4广义变分原理391

10.4.1广义势能原理391

10.4.2混合变量的广义势能原理392

10.4.3广义余能原理392

10.4.4混合变量的广义余能原理393

10.4.5广义势能和广义余能的关系393

10.5混合变量的最小势作用量原理及最小余作用量原理394

10.5.1最小势作用量原理394

10.5.2混合变量的最小势作用量原理395

10.5.3最小余作用量原理397

10.5.4混合变量的最小余作用量原理398

10.6混合变量的虚功原理及虚余功原理400

10.6.1虚功原理400

10.6.2混合变量的虚功原理401

10.6.3虚余功原理402

10.6.4混合变量的虚余功原理403

10.6.5弹性动力学混合变量的虚功原理及虚余功原理403

10.7混合变量极值变分原理与经典极值变分原理的比较404

10.7.1混合变量最小势能原理与最小势能原理的比较404

10.7.2混合变量最小余能原理与最小余能原理的比较405

第11章 有限位移弹性理论混合变量的变分原理407

11.1直角坐标系有限位移弹性力学基本方程的推导407

11.1.1应变分析407

11.1.2平衡方程411

11.1.3静力边界条件412

11.2有限位移理论的变形能原理414

11.3有限位移理论的功的互等定理415

11.4有限位移理论的极（驻）值变分原理418

11.4.1最小势能原理418

11.4.2驻值余能原理419

11.5由有限位移理论的变形能原理及功的互等定理导出势能原理及余能原理422

11.6由有限位移理论的变形能原理及功的互等定理导出已知边界值变化的变形能原理424

11.7有限位移理论混合变量的变分原理426

11.7.1混合变量的最小势能原理426

11.7.2混合变量的驻值余能原理428

11.8有限位移理论的广义变分原理432

11.8.1有限位移的广义势能原理432

11.8.2有限位移混合变量的广义势能原理433

11.8.3有限位移的广义余能原理433

11.8.4有限位移混合变量的广义余能原理434

11.8.5广义势能和广义余能的关系435

11.9有限位移理论混合变量的最小势作用量原理及驻值余作用量原理436

11.9.1有限位移理论的最小势作用量原理436

11.9.2有限位移理论混合变量的最小势作用量原理437

11.9.3有限位移理论的驻值余作用量原理438

11.9.4有限位移理论混合变量的驻值余作用量原理439

11.10有限位移理论的虚功原理及虚余功原理441

11.10.1有限位移的虚功原理441

11.10.2有限位移混合变量的虚功原理442

11.10.3有限位移的虚余功原理442

11.10.4有限位移混合变量的虚余功原理443

11.10.5弹性动力学有限位移混合变量的虚功原理和虚余功原理444

附录445

参考文献470