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第1章　KAM理论与Arnold扩散1

1.1　绪论3

1.1.1　辛流形和Hamilton系统3

1.1.2 完全可积与近可积系统5

1.1.3　摄动方法——平均法7

1.2 KAM定理8

1.2.1 经典的KAM定理8

1.2.2　低维KAM定理13

1.2.3 共振情形下的KAM定理17

1.2.4　广义Hamilton系统的KAM定理23

1.2.5　广义Hamilton系统的有效稳定性26

1.3　Arnold扩散与不稳定性28

1.3.1 引言28

1.3.2　正定Lagrange系统的变分框架31

1.3.3　局部连接轨道的存在性33

1.3.4　全局连接轨道的变分构造36

1.3.5　通有性证明39

1.4　轨道扩散与不变环面的粘滞性42

1.4.1　轨道扩散42

1.4.2 不变环面的粘滞性45

参考文献48

第2章 孤立子与可积系统57

2.1　概述59

2.1.1　孤波与孤子59

2.1.2　可积系统59

2.2　有限维可积系统60

2.3　Schr？dinger方程的反散射理论64

2.3.1　概述64

2.3.2　Jost解65

2.3.3　基本散射公式66

2.3.4　散射数据67

2.3.5 Gelfand-Levitan-Mrachenko方程70

2.3.6　无反射位势72

2.3.7　Bargmann系统74

2.3.8　反射系数不为零的情形75

2.4　KdV方程的孤子解76

2.4.1 KdV方程76

2.4.2　GGKM演化定理77

2.4.3　初值问题的反散射解法81

2.4.4　双孤子的相互作用82

2.4.5 N孤子解83

2.5　KdV方程的完全可积性87

2.5.1　无穷守恒律87

2.5.2　Zakharov-Faddeev迹公式89

2.5.3　广义Hamilton正则方程与完全可积性93

2.6　各种孤子方程及解法简述96

2.6.1　Lax方程与零曲率方程96

2.6.2 N带势解98

2.6.3　其他重要方法举例99

2.7　有限带解100

2.7.1　基本恒等式101

2.7.2　KdV方程族与Lenart序列102

2.7.3　特征值问题的非线性化103

2.7.4 守恒积分的对合性106

2.7.5　KdV方程族的分解107

2.7.6 守恒积分的函数独立性109

2.7.7　Hk流的拉直113

2.7.8　反演、概周期解116

2.8　孤立子实验117

2.8.1 非传播水波孤立子117

2.8.2 离散系统中的孤立子121

2.9　孤立子方程的建立123

2.9.1　非传播水波孤立子方程124

2.9.2　一维非线性单摆链系统中包络孤立子方程128

2.10　孤立子和缺陷的相互作用131

2.10.1 理论和数值研究131

2.10.2 实验观察134

参考文献141

第3章　分形几何——它的内容、意义和方法147

3.1 引言149

3.2　分形的特征150

3.2.1 光滑函数的图像分析150

3.2.2 von Koch曲线（雪花曲线）151

3.3　测度与维数155

3.3.1　尺度的临界性质155

3.3.2　测量方式157

3.3.3 雪花曲线的情形157

3.4　两种测量方式：覆盖与填充158

3.4.1 Hausdorff测度与Hausdorff维数158

3.4.2 Hausdorff测度与Hausdorff维数的基本性质159

3.4.3 维数的几何意义159

3.4.4　填充测度与填充维数160

3.4.5 两种测度与维数的比较161

3.4.6 两点注记162

3.5　其他测度与维数163

3.5.1　拓扑维数163

3.5.2　Minkowski容度与Minkowski维数164

3.5.3　相似维数167

3.5.4　容量维数167

3.5.5　测度的维数168

3.5.6　Fourier维数168

3.5.7 Besicovitch-Taylor维数169

3.6　进一步的讨论170

3.6.1 广义自相似集170

3.6.2　分形的定义173

3.6.3 随机的作用与分形模型176

3.6.4　有效维数与物理意义181

3.6.5　标度律与分形182

3.7　进一步阅读材料183

参考文献183

第4章 斑图演化的动力学185

4.1 引言187

4.2　混沌：初值敏感性188

4.3　斑图动力学193

4.4　固体损伤破坏斑图的动力学复杂性197

4.5　损伤斑图演化的跨尺度耦合理论202

4.5.1 基于细观损伤表象的统计细观损伤力学203

4.5.2　基于细观物质单元表象的统计细观损伤力学206

4.6　损伤局部化——损伤斑图向损伤局部化斑图转变208

4.7　损伤演化诱致灾变——损伤斑图向灾变性破坏转变215

4.7.1 驱动非线性阈值模型的一般描述215

4.7.2　载荷控制的准静态单调加载过程217

4.7.3 准静态单调加载下损伤演化和灾变中的能量转化219

4.7.4 位移控制的准静态单调加载过程220

4.7.5 位移控制的复合系统的准静态单调加载过程221

4.7.6　损伤演化诱致灾变的复杂性225

4.8　临界敏感性——损伤斑图向灾变性破坏转变的共性228

4.9　不是结束语237

参考文献238

第5章　动力系统——从有限维到无穷维243

5.1 引言245

5.2　零解的渐近稳定性246

5.3　精确能控性250

5.4　无限维KAM理论与偏微分方程的拟周期解256

参考文献263

第6章 符号序列的复杂性分析269

6.1 符号序列的数学271

6.1.1 自由么半群271

6.1.2 字的自交迭结构274

6.1.3 符号序列集合——形式语言276

6.1.4 禁止字方法279

6.2　一维离散动力系统中的符号序列281

6.2.1 符号动力学的起源与Thue-Morse序列281

6.2.2　混沌的诞生284

6.2.3 实用符号动力学与单峰映射287

6.2.4 单峰映射的符号动力学291

6.2.5 单峰映射的语法复杂性301

6.3　元胞自动机中的符号序列306

6.3.1 什么是元胞自动机306

6.3.2 关于元胞自动机的一些基本结果308

6.3.3　元胞自动机的极限复杂性312

6.3.4　元胞自动机的演化复杂性317

6.4　生物学中的符号序列321

6.4.1 数学与生物学的联姻321

6.4.2 子串的计数问题324

6.4.3　组分分析方法328

6.4.4 隐马尔可夫模型与寻找基因333

参考文献339

第7章　可微动力系统遍历理论基础345

7.1　遍历理论简介347

7.1.1 不变测度、遍历性347

7.1.2　Lyapunov指数、不变流形355

7.1.3 熵359

7.1.4　Sinai-Ruelle-Bowen测度365

7.2　动力系统的随机扰动375

7.2.1 动力系统的Markov链扰动375

7.2.2　动力系统的随机映射扰动379

参考文献384

第8章 非平衡定态、随机共振和分子马达389

8.1　非平衡定态简介391

8.1.1 微观态、宏观态和亚宏观态391

8.1.2 亚宏观系统的平衡态性质392

8.1.3 亚宏观系统的Q-过程描述397

8.1.4 圆周上的扩散过程416

8.2 随机共振430

8.2.1　随机共振简介430

8.2.2 双稳态系统的随机共振433

8.2.3　单稳态系统的随机共振441

8.2.4　耦合系统的随机共振453

8.3　分子马达463

8.3.1 分子马达简介463

8.3.2　布朗马达的输运速度、概率流和旋转数465

8.3.3 布朗马达的定向输运机制——对称破缺的动力学解释475

8.3.4　耦合扩散过程的定向输运问题484

8.3.5　马达的效率486

参考文献497