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第一部分 常微分方程1

第一章 引言3

1．微分方程4

2．微分方程的解．任意常数．任意函数6

3．解：明显解，不明显解，数值解10

4．数值解的需要13

5．解的初步研究14

第二章 初等数值解18

6．点斜式、方法Ⅰ18

7．方法Ⅰ的误差21

8．梯形公式．方法Ⅱ23

9．收敛因子25

10．校验行．截断误差的实际估计26

11．方法Ⅱ的误差29

第三章 解析基础31

12．借助于泰勒级数的形式解31

13．收敛半径32

14．解析开拓．方法Ⅲ34

15．逐次代入法37

16．逐次代入法的收敛性39

17．数值积分42

18．逐次代入法．方法Ⅳ44

19．用纵标表示的公式47

20．用向后差分表示的公式50

21．用中央差分表示的公式52

第四章 在数值积分公式基础上的方法54

22．向前积分法．方法Ⅴ54

23．方法Ⅴ的变形56

24．方法Ⅴ的讨论58

25．用迭代的积分法．方法Ⅵ60

26．方法Ⅵ的变形62

27．差分用于开始计算63

28．向前及用迭代的积分法．方法Ⅶ66

29．误差分析69

30．方法Ⅶ．五点公式72

第五章 龙盖-库塔方法．以高阶导数为基础的方法74

31．库塔的四阶法．方法Ⅷ74

32．五阶法75

33．方法Ⅷ与方法Ⅶ的比较76

34．以高阶导数为基础的方法77

35．方法Ⅸ．具有一阶及二阶导数的公式78

36．方法Ⅸ的变形80

37．一阶方程组82

第六章 方程组．高阶方程82

38．二阶或更高阶的方程84

39．特殊的二阶方程．方法Ⅹ85

40．求和法88

41．方法Ⅺ90

42．二阶线性方程．方法Ⅻ92

43．二阶线性方程．方法Ⅸ95

44．线性方程．方法ⅩⅢ97

第七章 两点边值问题101

45．两端点边值问题101

46．线性方程102

47．非线性方程．尝试及校正法104

48．逐次代入法108

49．变分法112

50．里兹方法114

51．伽勒金方法117

第二部分 偏微分方程119

第八章 明显法．抛物型及双曲型方程121

52．抛物型微分方程U？=c2Uxx121

53．误差分析122

54．截断误差123

55．抛物型方程的数值例125

56．双曲型方程U？=a2Uxx126

57．双曲型方程的例127

58．任意边界条件129

59．点组129

60．变系数132

61．非线性方程133

62．拉普拉斯算子？2=？+？134

63．方程U？=c2？2U140

64．方程U？=c2？2U147

65．曲线边界151

第九章 线性方程组及矩阵159

66．线性方程组159

67．隐伏根及隐伏向量164

68．实对称矩阵166

69．隐伏根的极值性170

70．逐次近似法173

71．每次改变一个分量的方法175

72．成群变化177

73．张弛法177

74．最速下降法（梯度法）179

75．迭代法180

76．以w=A′r作迭代183

77．用逐次迭代的值表出解186

78．校正矩阵C=F(A)190

79．加速收敛192

80．隐伏根的决定193

81．具消去的迭代法．实对称矩阵197

82．直交性的利用200

83．梯度法（最速下降法）202

第十章 不明显法．椭圆型方程204

84．拉普拉斯方程204

85．矩阵H207

86．Hu=b的解211

87．第一近似215

88．矩阵K216

89．更进一步的改进220

90．误差分析221

91．边界上奇点的消除225

92．不连续点的影响域227

93．布畦松方程229

94．重调和方程230

第十一章 特征数233

95．问题的表述233

96．特征方程的推导235

97．二度情况242

98．M的隐伏根的计算245

99．算子K的使用248

100．曲线边界情况的特征数250

附录253

Ⅰ．舍入误差253

Ⅱ．大型计算机254

Ⅲ．蒙特卡罗方法257

参考文献260